Se define a una parábola como el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es la misma que una recta fijo. El punto fijo se conoce como foco y a la recta fija se le conoce como directriz. Ademas tenemos que P es la distancia que se haya del vértice al foco. Tenemos las siguientes ecuaciones para las distintas direcciones de parábolas. FORMULAS PARA PARÁBOLAS VERTICALES. De un inicio sabemos que si P>0 la parabola abrirá hacia arriba. Si, P<0 la parabola abrira hacia abajo. Cuando el vértice este en el origen Nuestra ecuación sera: x^2=4py El vertice por obvias razones sera (O,0). El foco se localizara en (O, P). Y la directriz tendrá la formula de: y=-P. Cuando el vertice este fuera del origen: Nuestra ecuacion sera: (x-h)^2=4p(y-k) El vertice sera: (h,k) El foco sera:(h,k+p) Y la directriz sera: k-p FORMULAS PARA PARÁBOLAS HORIZONTALES. De un inicio sabemos que si P>0 la parabola abrirá hacia la derecha. Si, P<0 la parabola abrira hacia la izquierda. Cuando el vértice este en el origen: Nuestra ecuación sera: y^2=4px El vértice sera: (0,0) El foco sera:(p,0) Directriz: x=-p Cuando el vertice este fuera del origen: Nuestra ecuacion sera: (y-k)^2=4p(x-h) Vertice: (h,k) Foco: (h+p,k) Directriz: x=h-p Las formulas generales para la parabola seran:
Ax^2+Dx+Ey+F=0 Cy^2+Dx+Ey+F=0
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Es el lugar geometrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a un punto fijo es constante Al punto fijo se llama centro A la distancia del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia le llamaremos radio. A la unión de dos radios se le conoce como el diametro. Formulas para la circunferencia: Con centro en el origen: x^2+y^2 =r^2 Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0) Con centro en el punto C(h,k): (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 Ejemplo: Determina la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es C(3,-6) y que es tangente al eje Y. (x-h)^2+(y-k^2)=r^2 Sabemos que r=3 ya que x=3 es tangente al eje Y (x-3)^2+(y+6)^2=3^2 (x-3)^2+(y+6)^2=9 En la forma general:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 C=(-D/2,-E/2), r= √D^2+E^2-4f/2 Ejemplo Con los mismos datos del ejemplo anterior encontrar la formula general de la circunferencia: (x-3)^2+(y+6)^2=9 Primero haremos el binomio de x x^2-6x+9 Haremos el binomio de Y y^2+12y+36 Ordenaremos respecto a la formula x^2+y^2-6x+12y+45=9 Nos quedara como resultado x^2+y^2-6x+12y=-36 MEDIATRIZ: Segmento de recta que une un vertice con el punto medio del lado opuesto. BARICENTRO: También conocido como gravicentro al punto de intersección de las medianas de un triangulo. Los vertices de un triangulo son P(x,y), Q(x2,y2) y R(x3,y3) En donde la mediana trazada desde el verteci P al PM de a(Xa,Ya) del lado opuesto de QR.
Aplicaremos la ecuacion de la recta por 2 puntos y-y1=(y1-ya/x1-xa)(x-x1) De la misma manera para las medianas qb y rc. y-y2=(y2-yb/x2-xb)(x-x2) y-y3=(y3-yc/x3-xc)(x-x3) Para determinar la longitud de las medianas aplicamos la ecuación de distancia entre dos puntos, tomaremos con el punto medio al baricentro de los lados a, b, c. DLa distancia de un punto(Q) a una recta(L) se determina con la siguiente ecuacion:
dQL=Ax1+By1+C/+- √A^2+B^2. El signo marcado con azul, dependerá del signo de la independiente "C". Por conveniencia se dira que la distancia es positiva cuando el punto Q y el origen estan del mismo lado de la recta, en caso contrario sera negativo. EJEMPLO: Determinar la distancia dirigida de la ecuacion 3x-4y+2=0, al punto A(5,-2). dQl=-(3(5)-4(-2)+2)/- √25 dQL=28/ √25 dQL=5.6 Para transformar la ecuación de una recta en la forma general a la forma normal, se divide a cada uno de los términos de la ecuación entre r El signo de r se forma el contrario de signo de C
Ejemplo: De la ecuacion 2x-3y+1=0 a la forma general |
AutorMike Netza. Zárate Archivos |